Démarche expérimentale et apprentissages mathématiques

par G. Kuntz, F. Poyet, F. Carraud, V. Durand-Guerrier et T. Dias, et L. Trouche (INRP).

Introduction
"Le concret, c’est de l’abstrait rendu familier par l’usage", Paul Langevin dans "La pensée et l’action"
En mathématiques, pratiquer la démarche expérimentale, cela a un sens très précis. Le va et vient entre théorie et expérience est précisément ce qui caractérise la démarche expérimentale. Le défi pour l’enseignement est de développer des situations d’apprentissage qui permettent les allers-retours.
Expérimentation, formulation (interprétation) et preuve(validation), chacun des trois mouvements de la pensée peut rétroagir sur les deux autres…
Le travail conduit par Guy Brousseau étudie ces articulations entre expérimentation, formulation et validation. A cet égard, la situation du puzzle, développée par Guy Brousseau est emblématique. (compte-rendu du colloque), organisé par La Main à la Pâte
L’expérimentation en mathématiques, un thème déjà ancien ? Oui, dès 1887 (F. Buisson), 1911, 1957 dans les Instructions officielles (cf. T. Assude).
Mais pour qui ? Jamais appliquée, il est désormais difficile aux enseignants de se soustraire à cette injonction.

A) Pourquoi la question de l’expérimentation se pose-t-elle de façon insistante aujourd’hui ?
1) Les enseignants prennent douloureusement conscience de l’épuisement de l’enseignement traditionnel
Massification : Les élèves affichent indifférence, voire hostilité à l’égard de ce qui leur est proposé. L’enseignement supérieur n’attire pas dans les filières scientifiques. Georges Charpak développe les idées d’une rénovation de l’enseignement des sciences qu’il expérimente à Vaulx-en-Velin « La Main à la Pâte » (son site) en est issue.
2) Calculatrices et TICE bousculent les contenus et les méthodes d’enseignement
Se développe une double démarche:
celle du professeurà démarche de la preuve
celle des élèves, à mathématiques "techniciennes" par calculatrices ou TICE.
3) Les mathématiques se rapprochent d’autres disciplines scientifiques
L’exponentielle s’appuie sur la radioactivité traitée en physique. La modélisation a fait une apparition dans les programmes de lycée.
Certains ont cru distinguer l’arrivée en force dans l’enseignement officiel des "pédagogies parallèles" de Freinet, de Pestalozzi ou de Montessori mais il est difficile de reconnaître notre triptyque "observation, explication, preuve" dans les principes préconisés par leurs pédagogies (approches "intuitives et sensibles").

B) Quelles sont les prescriptions institutionnelles ?

1) Les programmes français
Depuis la fin des années 1990, il y a en mathématique, une volonté très nette en faveur d'une approche "expérimentale" :
- Les programmes de l'école primaire (2002) : Le matériel présent dans la classe doit être riche, varié et mis à disposition des élèves : cubes, jetons, bouliers, compteurs, instruments de géométrie et de mesure, jeux, etc. ... Il faut cependant se convaincre que ce n’est pas la manipulation d’un matériel qui constitue l’activité mathématique, mais les questions qu’elle suggère".
- Les nouveaux programmes de collège (septembre 2004). Identifier et formuler un problème, conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples, bâtir une argumentation, contrôler les résultats obtenus, mettre en forme une solution.
- Le programme de première S indiquait déjà en 2000 (annexe 2) : "l'expérimentation prend place à presque tous les niveaux de l'activité mathématique, (...)
- Le programme de seconde de 2001): L'informatique, devenue aujourd'hui absolument incontournable, permet de rechercher et d'observer des lois expérimentales dans deux champs: les nombres et les figures du plan et de l'espace.
2) La Commission de Réflexion sur l’Enseignement des Mathématiques
La CREM, Commission de Réflexion pour l'Enseignement des Mathématiques (présentation).
Rapport : Informatique et enseignement des mathématiques (le rapport):- l’ordinateur a permis, par sa puissance de calcul, d’aborder certains objets sous un jour nouveau ;- le traitement par ordinateur pose de nouvelles questions et permet de revisiter certains domaines ;- la puissance de calcul des machines permet de nouvelles expériences.
Elle rappelle que Vladimir Arnold (présentation ) parle des mathématiques comme de la partie de la physique où les expériences coûtent le moins cher…
C) Exemples de mise en oeuvre d'une démarche expérimentale en mathématiques…
a) USA et continent américain
- Un cours organisé par Jonathan M. Borwein: Experimental Mathematics in Action.
- Un très important bouquet de textes de Douglas Clements (site), (exemple 1, exemple 2).» (site) (
- Science for All American Online (site). (chapitre 13 et chapitre 14)
- le site de l'Educational Resources Information Center (site) (texte).
- Renaissance de la démonstration dans l'enseignement des mathématiques aux Etats-Unis ? (texte).
- Hands-on Engineering: Learning by Doing in the Integrated Teaching and Learning program. Lawrence Carlson et Jacquelyn F. Sullivan, de l'University of Colorado présentent une expérimentation de type « Main à la Pâte » (présentation).
- “How to solve it”. La méthode de George Polya. (présentation par l'Université de l'Utah) (site). l'oeuvre de Polya (répertoire).
- Women's Technology Program . (site). (site).
- Patterns of Instructional Discourse that Promote the Perception of Mastery Goals in a Social Constructivist Mathematics Course (référence).
- Story : Using Search Challenges with Students, Illinois Mathematics and Science Academy (site).
- Making the Experience of Environmental Education Experiential. (document).
- Le site du “Midwest Consortium for Mathematics and Science Education, North Central Regional Educational Laboratory” (site).
- Information Systems and Engineering Education: learning by doing. (texte). (présentation).
- Experimental mathematics (site). Voir en particulier les intéressants développement à propos des « mathématiques expérimentales » dans Statement of Philosophy & Publishing Criteria (article)
b) Union Européenne et reste du monde

- Education for Teaching Science and Mathematics in the Primary School. Ce rapport de l’Unesco de 1993 (rapport) fait des propositions de contenu pour l’enseignement des mathématiques et la formation des enseignants. En page 55 par exemple, on trouve des propositions qui soulignent l’importance de l’expérimentation et des "activités ".
- Finnish knowledge in Mathematics and Science in 2002. LUMA (an acronym of the Finnish words meaning natural sciences and mathematics) Il s’agit d’un rapport très intéressant (et volumineux) sur les liens entre mathématiques et sciences, venant d’un pays dont les résultats ont été distingués par l'évaluation PISA 2003. L'approche est constamment trans-disciplinaire, ce qui tranche avec d'autres rapports, en particulier en France (rapport)
- Undergraduate Mathematics Teachning Conference (UMTC). Ce rapport de Grande-Bretagne (1997) évalue les innovations pédagogiques et met en garde : “The pressure to be inventive and try out innovations is obviously high. But one has to be discerning. It is unwise to introduce an innovation when there is little evidence to suggest that it works, other than the students enjoyed it! Similarly, it is pointless trying to implement an innovation in a context for which it may not be suited. Having a clear strategy for evaluating how good an innovation is, or how appropriate it might be in a given situation, is thus important.” (rapport).
- The production Recipee Approach to Modelling Technological Innovation: An Application to Learning by Doing. Un article proposé par Philip Auerswald ; Stuart Kauffman; Jose Lobo; Karl Shell au "Journal of Economic Dynamics and Control" (article) Une autre approche de "l’apprentissage par l’expérience", dans le domaine économique : "We do two things in this paper. First, we put forward some elements of a microeconomic theory of technological evolution. This involves adding nascent (essentially undiscovered) technologies to the existing technologies of neoclassical production theory, and, more importantly, expanding the notion of the production plan to include the recipe – the complete description of the underlying engineering process. Second, we use the recipes approach in constructing a simple microeconomic model of shop-floor learning by doing. We simulate the dynamics of the model and report the effects of changes in the basic parameters on the resulting engineering experience curves. For correctly chosen values of these parameters, the predictions of the model match the observed experience".
- Engineering Mathematics. Un ouvrage anglais dont la devise pourrait être learning by doing (document).
- The place of experimental tasks in geometry teaching: (résumé).
2) En France
a) Des articles de revue
Plusieurs articles de revues destinées aux enseignants de mathématiques relatent des travaux en cours (ou achevés), qui donnent à l’expérimentation (telle que nous l’entendons) une place à part entière. Une place accordée sans réticence (mais non sans débat), car considérée résolument comme étant positive. La revue ci-dessous n’est pas exhaustive.
A l’école élémentaire
- Actions géométriques avec un ensemble de gabarits. (article).
- Expérimenter pour apprendre en mathématiques. Viviane Durand-Guerrier et Thierry Dias (2005) Repères-IREM n°60, p. 61-78.
- La main, l'outil et le cerveau. Gérard Kuntz. Bulletin de l'APMEP (2004) n°453, p. 548-558 (résumé).
- Spirales végétales et suites de Fibonacci. Un atelier mathématique pour les enfants. Groupe "Atelier" de l’IREM de Strasbourg. Bulletin de l'APMEP (2004), n°455, p. 759-778 (article).
- La dimension expérimentale en mathématiques : mythe ou réalité. Thierry Dias, IUFM de Lyon et LIRDHIST Lyon 1, actes des quatrièmes rencontres de l'ARDIST, Lyon octobre 2005 (article).
- Un numéro spécial des Cahiers Pédagogiques. Le n° 427 des Cahiers Pédagogiques (2004), intitulé Enseigner les maths aujourd'hui (présentation (interview). Dans le même numéro, un article de Thierry Dias (formateur à l'IUFM de Lyon) : A l'école élémentaire, une science expérimentale ? (article).
- Autour des stratégies utilisées pour former les maîtres du premier degré en mathématiques. Houdement C., Kuzniak A. (1996). Dans “Recherches en Didactique des Mathématiques » 16/3. Pages 289-322.- Aires de surfaces planes. Houdement C., Peltier M.L. (2002). Dans « Concertum » Pages 199-208. Aussi publié en 1993 dans « Documents pour la Formation des Maîtres en Didactique des Mathématiques ». COPIRELEM. - Mathématiques, didactique et découpage : la richesse d’un problème. Houdement C. (2005). Dans « Mathématiques et résolution de problèmes : un point de vue didactique ». Pages 43-51. IREM de Montpellier

Au Collège
- Volume d’une sphère. Guillaume Lambert. Bulletin de l'APMEP (2004), n°455, p. 823-828. Un jeune collègue du Haut-Rhin fait peser des demi-sphères remplies d’eau ! Une activité que la Main à la Pâte ne renierait pas. Avec la remise en cause d’une idée populaire et fausse, la proportionnalité du volume au rayon, et la mise en évidence expérimentale de la proportionnalité du volume au…cube du rayon. Et des activités sur diverses fonctions avec l’aide du tableur (résumé).
- Les narrations de recherche. La recherche à partir du mot "narrations", lancée sur Publimath le 11/03/06, donne 14 articles (requête). La démarche consiste, pour des élèves résolvant un problème, de relater l’ensemble des tentatives, des tâtonnements, des expérimentations, des errements, en un mot le chemin accompli durant l’effort de résolution, qu’il ait abouti ou non. Cette activité est un complément et une légitimation de la démarche expérimentale dans la résolution de problèmes, en particulier des problèmes ouverts.
- Résolution collaborative de problèmes ouverts. L’IREM de Montpellier (site) expérimente depuis plusieurs années au sujet la résolution collaborative de problèmes ouverts au moyen d’une plate-forme de communication à distance. Plusieurs classes de niveau différent expérimentent, discutent, échangent à distance, au sujet du même problème, durant un mois environ. Cette expérience montre la force de l’intelligence collective et l’inventivité des élèves stimulés par des échanges nombreux et variés. L’article "Cinq classes au pays de 9 et 11" (Combes Marie-Claire ; Saumade Henri ; Sauter Mireille ; Théret David. 2004. Bulletin de l'APMEP n° 455, p. 82-846) relate une de ces expériences. Une autre expérience du même type est analysée dans "Résolution collaborative de problèmes ouverts. Un problème babylonien…" (Gérard Kuntz. 2005. Bulletin de l'APMEP n° 456, p. 123-131)
Au Lycée
- Une classe bousculée par les nouvelles technologies relate son expérience. Un article de Gérard Kuntz, Bulletin de l'APMEP (1999), n° 422, p. 308-312 (résumé). (référence de la brochure).
- Les TPE (Travaux Personnels Encadrés), Repères-IREM n°52 /dossier spécial en juillet 2003 (présentation).
- La place des mathématiques vivantes dans l'éducation secondaire, à St Flour en 2004 (présentation)"Objets mathématiques" (atelier).
- Publimath (répertoire).
b) L’univers de la géométrie dynamique
Cabri (site) CabriJava (article).(bibliographie).
Geoplan – Geospace site en construction (site). (pages). (article)
Autres logiciels Geonext (site), TraceEnPoche (site), Dr Geo (site), Geogebra (site).
Jean-Paul Delahaye (site) défend l'idée que les mathématiques sont une science expérimentale. Pour la Science (2005) n°331 (article). Commission inter - IREM Mathématiques et Informatique, est disponible (bibliographie).
c) Des mathématiques aux marges de la classe pour retrouver le sens et le plaisir de l’activité mathématique :
Animath (site)
Math-en-jeans(site), (article), par Marie-Claude Guibé et Ludovic Moreau, professeurs de mathématiques.
Les jeux et énigmes mathématiques
C’est un domaine considérable où l’expérimentation est reine et précède toute formalisation. Les initiatives et les sites sont légion. En voici un choix.
Animath propose un ensemble d'adresses (liste).
Maths-à-modeler (site) propose une valise de supports d'expérimentation (valise).
Association québécoise des jeux mathématiques (site)
Comité international des jeux mathématiques (site)
Fédération suisse des jeux mathématiques (site)
Maths e-formation de l’IUFM de Lyon (site)
Association du rallye mathématique transalpin de Suisse Romande (site)
Site personnel de Thérèse Eveilleau (site)
Site personnel de J.L. Bregeon (site)
Site personnel de Pierre Eysseric (site)
Site personnel de Jean-Louis Sigrist (site)

D) Quels débats soulève l’introduction d’une composante expérimentale dans l’enseignement des Mathématiques ?
1) Des questions et des mises en garde à propos de l’expérimentation en mathématiques
2) La démarche expérimentale affaiblit-elle la nécessité de la preuve ?
3) L'introduction d'une démarche expérimentale pour réconcilier les élèves avec les études scientifiques ?
4) La démarche expérimentale accompagne-t-elle une sélection sociale occulte ?
E) Que révèle l’analyse des expériences menées sur l’apport de l’expérimentation pour l’enseignement des Mathématiques ?
1) La rénovation de l’enseignement des sciences et de la technologie à l’école primaire
- les élèves ont-ils été confrontés à un problème de départ ? oui dans 25% des cas
- les élèves ont-ils observé des êtres vivants ou des objets réels ? oui dans 16 % des cas
- les élèves ont-ils expérimenté ou manipulé ? oui dans 19 % des cas
- les élèves ont-ils procédé à des recherches documentaires ? oui dans 13 % des cas
- les élèves ont-ils formulé des résultats ? oui dans 22 % des cas
- les élèves ont-ils échangé et argumenté ? non mesurable
- les élèves ont-ils acquis des connaissances ? oui dans 55 % des cas
2) Les travaux de l’IREM de Montpellier (site)
Expérimenter et prouver : Faire des Mathématiques au Lycée avec des calculatrices symboliques, 38 variations sur un thème imposé (présentation). Calculatrices symboliques.
Transformer un outil en un instrument du travail mathématique : un problème didactique (présentation).
Suivi de formation à distance pour les enseignants de Mathématiques (SFoDEM). Bilan de la phase expérimentale (2000-2002) (présentation)
Résolution collaborative de problèmes ouverts (site). Que se passe-t-il lorsqu’on soumet le même problème à 20 classes en les invitant à une démarche collaborative au moyen d’une plate-forme virtuelle ?
Deux articles :- Cinq classes au pays de 9 et 11, Combes Marie-Claire, Saumade Henri, Sauter Mireille et Théret David (2004) Bulletin de l'APMEP n°455. p. 82-846 ;- Résolution collaborative de problèmes ouverts. Un problème babylonien…, Gérard Kuntz (2005) Bulletin de l'APMEP, n°456. p. 123-131.
L’option sciences en Seconde (site). (site).
3) Le cas particulier des REP (Réseaux d’Education Prioritaires) (site)
(présentation dans la rubrique "ouvrages divers").
Faire des maths en REP. Un numéro spécial (n° 22, mars 2005) de la lettre d’échanges "revue Réseau Delay" de Roland Charnay, Janine Raynaud et Thierry Dias (Rallyes et défis maths : expérimenter pour apprendre), (site, page 5).
Dur d’enseigner en ZEP. Un ouvrage de Marie-Lise Peltier-Barbier, Maître de Conférences en didactique des mathématiques, IUFM de Rouen, membre de l’équipe de recherche DIDIREM (présentation de l'ouvrage (site) :
Sur le site du CNDP, Centre National de la Documentation Pédagogique (site). Une bibliographie est proposée (site).
L’expérience d’un atelier (site).
Une conclusion très provisoire…
Et maintenant ? La parole est au lecteur. Voici une première proposition : Thierry Dias a établi (site) une vaste bibliographie sur la dimension expérimentale des mathématiques. Il serait intéressant de la compléter par des publications venues de divers horizons…